近日，上海数学与交叉学科研究院（SIMIS）助理教授马文杰、来访学者刘晗与清华大学丘成桐数学科学中心张其明教授合作，在人工智能辅助数学研究和量子引力理论领域取得重要进展。研究团队利用人工智能参与数学猜想探索、反例构造、定理推广及形式化证明，成功构造出一类满足严格数学条件的离散能谱，并证明其能够重现三维 BTZ 黑洞的熵及高阶量子修正。相关成果已以预印本形式发布于 arXiv，论文题为 Large gaps and BTZ entropy in modular spectra with positive integer degeneracies。

黑洞熵是连接引力理论与量子物理的重要问题。根据物理学中的贝肯斯坦–霍金公式，黑洞的熵可以由其视界的几何大小计算出来。然而，从微观角度看，熵又应当反映系统内部可能存在多少种量子状态。简单来说，我们已经知道如何从黑洞的外部特征计算它的熵，却仍希望理解：这些熵究竟能否对应一组真实、可以逐个计数的微观量子状态？

这一问题在数学上面临严格限制。量子状态必须具有确定的能量，每种状态的数量只能是非负整数，而描述整个系统的数学函数还必须满足特定的对称性。此前的经典理论构造虽然能够满足对称性要求，却会出现连续的能量分布，甚至负的状态权重，无法直接解释为真实的量子状态计数。如何同时满足这些条件，一直是相关研究中的重要难题。

针对这一问题，研究团队引入人工智能辅助数学研究，将 AI 直接用于数学推理与证明过程。与传统人工智能主要承担数据分析、数值预测不同，本研究中的 AI 参与了数学反例构造、已有结果的推广，并编写能够通过 Lean形式化证明系统检查的数学证明代码。研究人员则负责提出核心科学问题、修订数学猜想、分析物理意义，并审查形式化命题与研究结论。

这一研究方式使人工智能不仅成为提高计算效率的工具，也成为参与探索数学结构和建立严格证明的研究助手。通俗地说，AI 不只是帮助研究人员算出一个答案，而是参与寻找“为什么这个答案一定成立”的数学理由；Lean 则进一步检查形式化证明是否符合严格的逻辑规则。

在数学方法上，团队建立了一套递归修正机制，将原本连续且可能包含负权重的能谱，逐步转化为具有离散能级和正整数态数的能谱，同时保持整体数学对称性。该方法能够保护已经确定的低能量状态，并通过精确的矩匹配控制后续修正，使无限递归过程最终收敛到满足要求的数学对象。

研究进一步证明，对于充分大的中央荷，可以构造具有不同能隙的离散能谱。其中一类能谱允许最低非真空能级与真空之间存在较大的间隔，另一类能谱则能够在指定条件下重现 BTZ 黑洞的熵预测。通过在固定能量分辨率下统计邻近能级，所得结果不仅与黑洞熵的主导公式一致，还匹配对数修正及大中央荷展开中任意预先指定的有限阶修正。

这意味着，研究团队不仅得到了与黑洞熵相符的宏观结果，还建立了能够逐个计数、每个能级态数均为正整数的数学模型，为从微观量子态理解黑洞熵提供了新的严格构造。

研究还发现，不同的离散能谱可以产生相同的微扰黑洞熵展开。这表明，即使能够非常精确地计算黑洞熵，也未必能够唯一确定其背后的全部微观量子状态。这一结果为进一步理解黑洞信息、量子引力的微观结构以及不同量子理论之间的关系提供了新的研究方向。

值得指出的是，目前成果建立的是满足环面配分函数一致性条件的数学能谱，并不意味着已经构造出完整的量子引力理论。未来仍需进一步研究这些能谱能否对应具有一致相互作用的完整共形场论。

本研究展示了人工智能在高难度基础数学与理论物理问题中的应用潜力。通过将 AI 的数学探索与形式化证明能力相结合，研究团队为利用人工智能发现数学结构、建立严格证明以及解决复杂科学问题提供了一个具体案例，也为人工智能参与前沿数学研究探索了新的路径。

本研究得到国家自然科学基金、上海市浦江人才计划、上海数学与交叉学科研究院科研启动经费等项目支持。

论文信息：Chi-Ming Chang, Reiko Liu, Wen-Jie Ma. Large gaps and BTZ entropy in modular spectra with positive integer degeneracies. arXiv preprint, 2026.

论文链接：https://arxiv.org/abs/2609.39930

形式化证明代码：https://github.com/ReikoAntoneva/modular-bootstrap-lean