2026年9月24日，何杨辉（Yang-Hui He）、刘子冉（Ziran Liu）与丘成桐（Shing-Tung Yau）在arXiv公布预印本《Positive Sectional Curvature on All Smooth 7-Spheres》（《所有光滑七维球面上的正截面曲率》）。这项工作解答了一个悬置数十年的公开难题：奇异球面上是否存在光滑度量使得截面曲率处处为正？

一、从“怪球”诞生到正式列入问题清单

故事的起点要追溯到1956年的一个重要发现。

球面并非只有唯一一种光滑结构。约翰・米尔诺在《数学年刊》发表七页短文，构造出七维奇异球面：在拓扑意义上，它与标准球面相同；但作为光滑流形，它又不是标准球面。

这不是把一个圆球拉成长椭球那样的外形变化。米尔诺发现的是一种更深的差别：两个空间可以在连续意义上完全对应，却不存在正反两个方向都光滑的一一对应，能把它们等同起来。这样的空间被称为“奇异球面”，也常被形象地叫作“怪球”。“奇异”并不是说它有尖点、裂缝或粗糙的地方。它的每一小块都可以光滑地做微积分；区别藏在这些局部如何组成一个整体之中。粗略地说，同一个拓扑球面，可以有不同的整套“微积分规则”。

1963年，克尔韦尔与米尔诺给出了七维同伦球面的定向分类：计入定向，一共28种光滑类型，包括标准球面和27种非标准类型。 这里的“28”不是28种肉眼可以辨认的球体外形，而是28种定向微分同胚类型。

几何追问随之而来：标准球面有熟悉的圆度量；换了光滑结构以后，能否仍然让截面曲率处处严格为正？

这个问题在 1979—1980 学年被正式提上议程。彼时，普林斯顿高等研究院正在举办微分几何专题研究年，由丘成桐教授牵头组织系列学术研讨。研讨临近尾声，与会学者提议集中梳理领域内尚未解决的开放问题。丘成桐教授联合卡拉比、舍恩、乌伦贝克等数学家，先汇总出 60 个问题并作两场报告，后续又扩充完善。

1982 年，丘成桐教授主编的《Seminar on Differential Geometry》（《微分几何研讨班》）由普林斯顿大学出版社出版，收入《数学年刊研究丛书》第 102 卷。书末的问题集里，第二个问题仅有简短一句话：奇异球面上，是否存在正（截面）曲率的度量？这一提问，正式把 “怪球的正曲率” 确立为微分几何的核心待解难题。

二、跨越半个世纪的接力攻关

从 “非负曲率” 到 “严格正曲率”，学界为此付出了半个多世纪的努力。 

1974 年，Gromoll 与 Meyer 率先构造出第一个带非负截面曲率的七维奇异球面，但当时还无法把度量优化为处处严格正曲率。2000年，Grove与Ziller将非负曲率构造推广到一大类七维奇异球面。2020年，Goette、Kerin与Shankar在《数学年刊》发表工作，把非负截面曲率的存在性推进到了全部七维奇异球面。

至此，所有七维球面都能实现非负曲率，但 “处处严格为正” 始终没能突破。从非负曲率到严格正曲率，差别不只是一个数学符号。前者允许几何结构在某些方向上保持平直，后者则要求所有方向都具有严格的正曲率。这种看似细微的差别，可能决定一个构造能否真正满足问题的要求。

2026年9月24日公布的《Positive Sectional Curvature on All Smooth 7-Spheres》给出了明确答案：每一个七维光滑同伦球面，都存在处处严格正截面曲率的光滑黎曼度量。

这意味着，研究者不再只是为某一种特殊的奇异球面寻找正曲率度量，也不再停留于非负曲率的存在性。无论七维同伦球面具有哪一种光滑结构，都可以构造满足严格正曲率条件的几何度量。

“度量”可以理解为一个空间测量长度和角度的规则；曲率则描述这种几何如何偏离平直。理想地球仪的表面是二维球面，虽然它摆在三维空间里。在更高维的空间中，同一点处有许多不同的二维切平面，截面曲率就是沿这些二维方向考察的曲率。

因此，“处处严格为正”不是说平均起来为正，也不是大多数地方为正。它要求：每一个点、每一个二维切平面的截面曲率，都严格大于零。

而这一次，结论还覆盖了全部28种定向光滑类型。1982年的原问题首先问的是：能不能找到具有正曲率的奇异球面？这篇论文给出的答案更进一步——在七维，不只是一种特殊的“怪球”，而是完整分类中的每一种，都可以做到。

三、成果的深层学术意义

这项结论回答的不只是“又有哪些空间能有正曲率”，还触及一个更根本的问题：曲率条件，究竟会对一个空间的光滑结构施加多强的限制？

在几何学中，曲率与空间的整体结构之间有着深刻联系。Brendle与Schoen的微分球面定理就是一个重要例子：对于七维同伦球面，如果截面曲率不仅为正，还满足一个精确的“不同方向之间不能相差太大”的条件，那么它必须具有标准光滑结构。

He–Liu–Yau的结论呈现出另一面：只要求截面曲率处处为正，并不会排除七维球面的任何一种光滑类型。 奇异球面仍然不同于标准球面，却同样可以做到截面曲率处处严格为正。

两项结论放在一起，边界就清楚了：对曲率施加足够强的均匀性限制，会把光滑类型约束到标准球面；仅要求“处处为正”，则容得下全部28种定向类型。正曲率并不意味着所有球面都必须成为同一种光滑空间。

因此，这项工作的分量，不在于把“怪球”变成了普通圆球，而在于表明：七维球面的光滑结构虽然各不相同，实现严格正截面曲率的可能性却没有因此消失。原先由拓扑学列出的完整分类，如今在这篇论文中，每一项都得到了一个肯定的几何答案。

一个答案，也为下一步研究提供了起点。

除了覆盖范围，这篇论文还有一个方法上的特点：它用统一的思路处理整个七维球面家族，而不是为不同类型逐一寻找互不相关的办法。其意义不仅是增加了可研究的正曲率空间，也在于把这些空间置于同一套构造框架下。

从这里出发，可以继续追问：这些正曲率几何还能呈现怎样的形态？进一步限制曲率的分布时，不同光滑类型之间会显露出哪些差异？统一构造中的哪些思想，有可能用于其他流形？七维的统一答案为这些研究提供了新的出发点；走向其他维数与流形，仍需新的数学工作。

从1956年米尔诺发现奇异球面，到1963年完成七维同伦球面的定向分类，再到1982年问题被写入经典问题集，直至2026年全部七维光滑类型的正截面曲率构造取得突破，这段历程跨越了七十年。

数学家最初发现，球面在拓扑上相同，并不意味着它们具有相同的光滑结构。如今，这项新成果进一步表明：在七维，光滑结构的差异并不妨碍每一种类型都拥有处处严格为正的截面曲率。

“怪球”的不同并未消失。改变的是我们对它们能够承载怎样的几何的认识。

本研究在AI辅助下完成。作者主导研究构思与完成数学证明，AI用于辅助探索证明思路和开展相关计算。同时，研究使用计算代数系统SageMath，对证明中的部分代数恒等式与标量估计进行核验，并提供精确算术证书、检验程序及复现说明。

公开的SageMath核验相关内容见 https://zliu-math.github.io/projects/PosSecSmoothS7